1 问题的提出

在待加密的地区应有几个平面坐标、高程或全部3维坐标已知的控制点。GPS观测量有一些各点间的空间向量组成，可用坐标差Δx、Δy、Δz表示，这与最小二乘间接平差相一致。

GPS与地方坐标系在尺度因子和方位上不一致，通过平差可以确定向量在地方坐标系统中必要的方位和尺度改正，使它们附合在已确定的控制系统中。

当以平均海平面上的高程作为椭球面高程的近似值时。大地水准面的倾斜度可以从二个旋转角（在平面坐标系统中绕南北，东西轴）中得到，大地水准面高程可以从尺度改正中得到。

2 坐标系统

本文将用到以下几个坐标系统：

（1）大地坐标系：L、B、H大地经纬度、大地高系统。大地经度L由起始大地子午面起算，向东为正、向西为负；大地纬度B由赤道面起算，向北为正、向南为负；大地高H是沿法线到椭球面的距离，从椭球面起算，向外为正，向内为负。

（2）空间大地坐标系：以椭球中心O为笛卡尔坐标系原点，OZ轴与椭球短半轴一致，向北为正，OX轴指向经度零点，OY轴组成右手坐标系。

（3）以某地面点P为原点的局部地平坐标系统P—NEU，N在地平面内向北为正，E在地平面内向东为正，U与该点垂线重合指向天顶为正。

（4）以在研究地区概略中心某点Po为原点的Po—xyz左手坐标系统，x轴向北为正，y轴向东为正，z轴垂直于xy平面向上为正。

（5）地心右手坐标系o—x′y′z′，GPS坐标及坐标差就表示在这个坐标系中。

3 坐标系间的相互关系

椭球的卯酉圈曲率半径为

（1）

式中a是赤道半径，e是第一偏心率xyz与LBH的关系为：

（2）

设

（3）

　　　　∵M为正交矩阵，有MMT=1，M-１＝MT

　　　　（4）

　　　（5）

Mo是Po点的M矩阵

由旋转引起的坐标变换

（6）

（7）

式中ω为绕各自轴的旋转角。

（8）

式中旋转角r以由P0指向各自轴正方向顺时针旋转为正旋转角变换。

（9）

（10）

确定系统的W、r值与P0点的选择有关。

4 函数模型

平差函数模型可由误差方程和条件方程等来表示，每一GPS向量给出三个观测量，即Δx′，Δy′，Δz′，通过坐标变换它们能转换到任何一个坐标系中。第一种简单明了的误差方程式是：

（11）

V是改正数，dx，dy，dz表示平差值与近似值之差，ω（旋转角），Δk（尺度差异）在观测量转换到地方坐标系统中时是未知的，（11）式最后一项表示初始计算值与观测值之差。这是最少约束条件的平差模型，但当有多余条件时就不那么合适了。

第二个模型表示附合到由二个已知点确定的水平系统时的坐标变化：

（12）

由方程（12）给出的模型比第一个便利多了，坐标改变量以局部地平坐标形式给出，使它们轻易用到给定限制条件的水平坐标系统中。我们习惯于将改正数和旋转角表达在比附合在xyz坐标系统中更有直接意义的地方水平坐标系统中：

（12）式左乘Mo

（13）

这个方程与适当的权模型一起成为GPS加密网平差的基础，为了解出所有的4个附加参数（rx，ry，rz，Δk），加密网中必须至少有二个平面、三个高程已知点。可以看出，rx代表P0点东西两个平面间的夹角，ry表示南北间的夹角，rz是方位角差，Δk是尺度差异包含大地水准面与椭球面间距的影响。

5 随机模型探讨

随机模型表达为平差中作为观测量的参数的方差——协方差矩阵，通俗地说就是权模型。

GPS向量不是直接测定的，常规的观测量由携有卫星轨道和时间信息的卫星信号经最小二乘平差得到的相位角和相位差组成，在这个平差中的未知数是与已知坐标测站信息有关的测站坐标，这个过程称为“初始处理”。

与任何最小二乘平差一样，初始处理给出所有未知数的方差和它们之间的协方差。如果有两个以上测站的所有观测量同时参与计算，它们的协方差不只是测站的三维坐标间的，同时包括向量间的协方差。这样所产生的向量数为n-1，n是参与计算的测站数，其余向量是重复的，可以从中得到，这里没有三角形闭合差。在有两个以上测站参与的同样方法中，向量间的协方差成为解的唯一性的保证，而不再考虑哪一个测站必须附合，所以，从这种方法中得到的多余向量，在新网的平差中将不再使用。

另一种通用的计算方法是每次用两个测站单独的向量进行初始处理。用三个或三个以上的测站参加计算，因为同一原始观测量用来形成二个或多个向量，这是一种理论趋近，用这种方法会产生n(n-１)／２个可能的向量。作为这些向量不再是线性相关的结果，这种处理产生三角形闭合差。有人坚持在这种情形下只能用最少的n-１个向量，余下的舍去，这会产生包含这些向量的平差成果依赖于选择最少数向量的组合的结果，并且使结果不再是唯一的。显然用这种途径产生的所有向量较为合理，与前一种处理方法相比增加了自由度，但现在的向量不再是线性相关了。参考一些学者通过这种方法和其他方法得到的大量结论，作者认为把它们放在一起重新定权，用n／2倍乘协方差矩阵来完成定权，这种处理方法适合于加密网。

向量的协方差矩阵表示相对于固定点的误差椭圆的大小和方向，向量间的协方差还可以用几何表示。这种协方差矩阵在区别于加密网的控制网平差中是必要的，它们是最佳的，但并不表示真误差模型，这部分地归究于隐含在观测过程中的一些误差代替与基线长度相关的，并在初始处理平差中不明显的误差的约定。这些误差通常认为是“系统性”的，但因用户没有控制它们，它们不是系统误差，更确切地，这些误差可以认为由相关作用所导致，这就是观测量和平差结果“内部”和“外部”精度差异的原因，在有长、短差异较大的基线存在的网的平差中可以证实这种误差的存在。一种解决方法是在现有的协方差矩阵上迭加一个根据经验、成适当比例的模型产生的元素组成的对角阵，这些误差与尺度差异无关。显然这只适用于单独产生的向量，并使协方差失去了许多原有的意义。 在加密网中，我们还面临另一个问题。借用Wolf的表达方式，固定网通常是携有扭曲的。现在成果的目标不只是平差向量，还需内插变形，这样协方差矩阵失去了更多的本身含义，如果肓目地运用，他们会因阻碍平滑地进行与距离成比例的内插而产生不利结果，甚致会加剧网的扭曲。

在加密网中权向量的一种有效的方法是：放弃由初始处理得到的协方差矩阵，采纳一个经验的与经典平差中电磁波边长的权相似的对角阵权模型。这样坐标差的协方差分成水平和垂直分量，表示成两组线性单元平方的总和，第一组较小且与基线长度无关，而第二组则与距离成比例，这一组的大小随固定网中扭曲的大小而变化，这可通过对平差结果的检验来确定。

6 计算

一个GPS加密网平差程序必须具有以下特性：（1）表示向量残差和以一个中心点为原点的水平坐标系的旋转角；（2）表达相对于水平坐标系统的由初始值到平差值的坐标改正；（3）附合和单独约束三个旋转角中任意几个的能力；（4）单独附合测站坐标的简单方法；（5）根据全部或个别向量选择包含比例误差模型的能力。不具备这些特性的程序在加密网平差中的价值不大。

发表于《上海测绘》1998年第1期